Eulersches Quadrat mit Anti-Knight

[Raumplaner]

Bei dem Versuch ein Rätsel mit einem Eulerschen Quadrat und einer Anti-Knight-Bedingung zu erstellen wurde ich auf einen interessanten geometrischen Zusammenhang aufmerksam. Die miteinander verschränkten Lateinischen Quadrate führen sehr schnell zu eindeutigen Lösungen.
Was mir aber noch nicht recht gelingen will ist ein geometrischer (ersatzweise auch mathematischer) Beweis dieser Beziehung.

I tried to set a puzzle with two orthogonal Latin squares (Euler square or Graeco-Latin square) with an Anti-Knight constraint. I discovered there are very limited geometric options for such a puzzle. So a puzzle would be unique with very little given digits.
What i like to know is, if anyone can find a geometric (or mathematic) proof for this phenomenon? 

Euler Knights




Über Hinweise wäre ich sehr dankbar.
PS: Wer das Rätsel löst (gerne auch rechnerunterstüzt) bekommt eine farbenfrohe Belohnung
In einem kleineren Gitter lässt sich ein Beweis über den geometrischen Zusammenhang führen und es gibt nur eine mögliche Lösung:

I would be very gratefull for any hints how to tackle this problem.
If you can manage to solve the puzzle (feel free to use a solver) you will get a colourfull reward
In a smaller grid there is a unique solution with the same geometric pattern:

Euler Knights 5x5

[jessica6]

Da gibts auch noch dieses Monster (Rätsel-ID 12):
https://logic-masters.de/Raetselportal/R...?id=000012

Ebenfalls orthogonales Eulerquadrat, ohne Anti-Knight aber dafür mit Sudoku (in jedem 3x3 Gebiet alle Zahlen von 1-9 in beiden Teilen, dort sind die Teilsudokus die Zehnerziffern und Einerziffern)

--Jessica

[Raumplaner]

Da gibts auch noch dieses Monster (Rätsel-ID 12):
https://logic-masters.de/Raetselportal/R...?id=000012

Ebenfalls orthogonales Eulerquadrat, ohne Anti-Knight aber dafür mit Sudoku (in jedem 3x3 Gebiet alle Zahlen von 1-9 in beiden Teilen, dort sind die Teilsudokus die Zehnerziffern und Einerziffern)

--Jessica

Vielleicht hat ja noch jemand das script von damals und kann das Rätsel damit lösen. Würde mich freuen!

Ich kann übrigens jetzt vermutlich jedes Anti-Knight Euler-Quadrat in wenigen Minuten ohne weitere Hilfe lösen

[Raumplaner]

Hier eine 5x5-Version:

https://f-puzzles.com/?id=y67sfaqu

[Semax]

Das ist ja interessant. Danke fürs 5x5-Beispiel, das hat mich auf die richtige Fährte gebracht. Ich habe beide Rätsel per Hand gelöst, aber nicht die Eindeutigkeit nachgewiesen.

Hast du bei beiden die Eindeutigkeit bewiesen? Wenn ja, wie?

[Phistomefel]

Das sieht spannend aus! Auf dem 5x5-Gitter lässt sich jedenfalls recht schnell zeigen, dass man noch nicht einmal ein Euler'sches Quadrat mit Springerbedingung braucht, um dieses Phänomen zu erhalten. Hier reicht schon ein handelsübliches lateinisches Quadrat mit Springerbedinung.

Ich sehe zwar spontan nicht, wie sich ein Beweis auch für größere Gitter formen lässt, aber das hält mich nicht davon, es zu versuchen.

[Raumplaner]

Das ist ja interessant. Danke fürs 5x5-Beispiel, das hat mich auf die richtige Fährte gebracht. Ich habe beide Rätsel per Hand gelöst, aber nicht die Eindeutigkeit nachgewiesen.

Hast du bei beiden die Eindeutigkeit bewiesen? Wenn ja, wie?

Beim 5x5 lässt sich die Eindeutigkeit logisch beweisen, da der Springerzug schon im Lateinischen Quadrat (nur über die Ziffern) die Geometrie erzwingt (es gibt dann noch zwei mögliche Lösungen) - also ganz unabhängig von den Farben. Durch die gegebenen Farben wird dann die Orientierung erzwungen (siehe auch der Kommentar von Phistomefel dazu).

Beim 9x9 ist mir die Beweisführung leider bislang nicht gelungen.