Ein diagonales Anti-Springer- und Anti-XV-Sudoku hat nur 16 Lösungen

[Phistomefel]

English version below

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Hallo zusammen,

kürzlich hab ich ein wenig mit der Seite https://sudokulab.net herumgespielt, die einen äußerst starken Brute-Force-Solver bietet. Dabei hab ich entdeckt, dass laut Solver ein handelsübliches 9x9-Sudoku mit einer Kombination aus einer einzelnen Diagonale, auf der sich keine Zahlen wiederholen dürfen, einer Anti-Springer-Bedingung (Zahlen, die genau einen Springerzug voneinander entfernt sind, dürfen nicht identisch sein) und einer Anti-XV-Bedingung (benachbarte Zahlen dürfen sich weder zu 5, noch zu 10 aufaddieren), nur 16 Lösungen hat. Eine mögliche Lösung sieht z.B. so aus:

https://f-puzzles.com/?id=yae6gw7y

Interessant finde ich nun, dass die drei Bedingungen vier Symmetrien á zwei Optionen erlauben, sich alle 16 Lösungen also aus der obigen erzeugen lassen.

- Symmetrie 1: Vertausche 1 <-> 4 und 6 <-> 9.
- Symmetrie 2: Vertausche 2 <-> 3 und 7 <-> 8.
- Symmetrie 3: Vertausche 1 <-> 2, 3 <-> 4, 6 <-> 7 und 8<-> 9.
- Symmetrie 4: Spiegelung an der Diagonale, auf der sich keine Zahlen wiederholen dürfen.

Es gibt noch mehr Symmetrien, die sich allerdings durch eine Kombination der obigen vier darstellen lassen.

Abgesehen von Symmetrien gibt es also nur eine Lösung. Leider hab ich kaum etwas gefunden, was eine derartig starke Einschränkungen erklären würde. Was mich vor allem interessieren würde, ist, ob es eine Möglichkeit gibt die Anordnung in Box 5 logisch zu begründen (5 in der Mitte, große Zahlen an den Kantenmitten, kleine Zahlen in den Ecken). Mir ist durchaus bewusst, dass es dafür nicht notwendigerweise eine knappe und elegante Erklärung geben muss, aber falls jemand von euch etwas interessantes findet, würde ich mich sehr darüber freuen.

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Hi all,

recently I played around a bit with the site https://sudokulab.net, which offers an extremely strong brute force solver. I discovered that according to the solver, a standard 9x9 Sudoku with a combination of a single diagonal on which no numbers may repeat, an anti-knight condition (numbers exactly one knight's move apart may not be identical), and an anti-XV condition (adjacent numbers may not add up to either 5 or 10) has only 16 solutions. For example, one possible solution looks like this:

https://f-puzzles.com/?id=yae6gw7y

I find it interesting that the three restrictions allow four symmetries with two options each, so all 16 solutions can be generated from the one above.

- Symmetry 1: Swap 1 <-> 4 and 6 <-> 9.
- Symmetry 2: Swap 2 <-> 3 and 7 <-> 8.
- Symmetry 3: Swap 1 <-> 2, 3 <-> 4, 6 <-> 7 and 8<-> 9.
- Symmetry 4: Mirror on the diagonal, on which no numbers may repeat.

There are more symmetries, but they can be represented by a combination of the four above.

So, apart from symmetries, there is only one solution. Unfortunately, I have hardly found anything that would explain such a strong restriction. What would interest me most is whether there is a way to logically justify the arrangement in box 5 (5 in the middle, large numbers at the edge centers, small numbers in the corners). I am well aware that there is not necessarily a short and elegant explanation for this, but if any of you find something interesting, I would be very happy about it.

[Dandelo]

Das überrascht mich jetzt nicht. Mit wachsender Zahl der möglichen Nebenbedingungen wächst die Zahl der möglichen Kombinationen daraus exponentiell. Dass dann auch welche dabei sind, die gerade eben noch erfüllbar sind, ist zu erwarten. Dass es Fälle mit genau einer Lösung modulo Symmetrien gibt, muss nicht sein, aber ist auch nicht sooo überraschend.
Es kann natürlich auch schöne Argumente geben, aber das würde mich eher überraschen.