Schwierigkeitsbewertung leichter Sudokus

[surbier]

Hallo

Zuletzt habe ich ein Sudoku aus der Zeitung geloest. Ich musste ein
paar Kandidaten eintragen, habe allerdings hinterher gesehen, dass das
Raetsel nur aus versteckten Einsern (Methode = Scannen, cross hatching)
bestand, von denen ich einige nicht fand. Dabei ueberlegte ich mir nach
welchen Gesichtpunkten man die Sudokus nach Schwierigkeit ordnen kann,
die nur aus versteckten Einsern bestehen.

Ich habe dazu vor einem Jahr schonmal was im Player's Forum ohne grosse
Resonanz gepostet. Dort wurde das Thema bereits frueher fuer Sudokus
mit versteckten UND nackten Einsern diskutiert.

Also als erstes Kriterium habe ich mir ueberlegt, dass man zu jedem
Spielstand die Anzahl der moeglichen versteckten Einser ermitteln koennte.
Ein Raetsel, das nach jedem Zifferneintrag mindestens 12 moegliche
versteckte Einser (hiernach HS fuer hidden singles) vorweist ist doch
bestimmt leichter zu loesen als ein Sudoku, das an einigen Stellen nur
noch 3 moegliche HS zeigt.

Ich zaehle hierbei nicht genau die verschiedenen Kandidaten, sondern die
unterschiedlichen logischen Schritte. Ich meine damit, dass wenn man die
3 in Z5S7 setzten kann, dass man damit bis zu drei unterschiedliche HS
singles hat, je nachdem ob der Kandidat 3 der einzige 3-er Kandidat in
Zeile 5 ist oder zusatzlich der einzige 3-er Kandidat in Spalte 7 oder
zusaetzlich auch der einzige 3-er Kandidat in Block 3 ist.

Das geringste Anzahl der HS (GAHS) waere ein Mass fuer die Schwierigkeit
eines (ich nenne es mal) HS Sudokus. Da man beim Eintragen der letzten
Ziffer immer auf GAHS=3 kommt (die letzte Ziffer ist ja immer ein HS in
Zeile, Spalte und Block), muesste man die Anzahl der HS gegen Ende des
Spielverlaufs ignorieren. Hat man z.B ein Sudoku mit 31 voreingetragen
Ziffern, das man in (81-31) = 50 Schritten loest, koennte man z.B. die
letzten zehn Schritte weglassen.

Das waere der erste Schritt einer Schwierigkeitsbewertung von HS Sudokus.

Die Schwierigsten HS Sudokus waeren solche, bei denen GAHS auf 1
sinkt, bei denen es also im Spielverlauf nur einen einzigen HS gibt;
ein Nadeloer.

Man kann sich nun leicht vorstellen, dass es auch HS Sudokus gibt,
bei denen es mehrere Stationen im Spielverlauf gibt, an denen GAHS auf
1 sinkt, die also mehrere (auch direkt aufeinanderfolgende) Spielzuege
aufweisen, bei den es keine Alternative gibt, nur ein einziges HS.

Fuer Sudokus dieser Schweirigkeitsstufe waere die Anzahl dieser Nadeloere
(die Anzahl der Spielschritte bei denen es keine Alternative gibt)
eine weitere Schwierigkeitsbewertung. Allerdings gibt es sehr wenige
HS Sudokus, bei denen die GAHS mehrmals auf Eins sinkt.

Die erste Bewertung (GAHS) habe ich mal spasseshalber programmiert,
womit die meiner generierten Sudokus, die nur aus HS bestehen, zuaetzlich
die GAHS Zahl als Schwierigkeitsbewertung mitbekommen.

Das ganze klingt zwar alles etwas akademisch, aber man natuerlich noch
eins draufsetzten: Jeder, der schonmal Sudokus geloest hat, hat die
Erfahrung gemacht dass wenn man z.B. eine 7 gesetzt hat, dass es dann
leichter ist weitere 7er zu setzten (vorausgesetzt es sind welche im Topf
der angebotenen HS) als dass man auf eine andere Ziffer wechseln muss.
Oft kommt es doch vor, dass man eine Ziffer mehrmals hintereinander
eintragen kann bevor man notgedrungen auf eine andere Ziffer wechseln
muss. Deshalb wuerde ich HS Sudokus, die mit aufeinanderfolgenden
Spielzuegen der gleichen Ziffer zu loesen sind leichter bewerten als
solche bei denen nach jedem HS auf einen anderen Kandidaten wechseln muss.

Das habe ich auch mal versucht zu programmieren, also alle moeglichen
Kombinationen von HS Spielzeugen auszuprobieren, um herauszubekommen,
ob es laengere Spielzugsequenzen mit dem selben Kandidaten gibt. Hat man
z.B. am Anfang 10 moegliche HS, sind vielleicht drei davon fuer die Ziffer
6. Die kann man loesen und danach pruefen, ob es nun neue HS fuer die
6 gibt. Wenn man das konsequent durchprobiert ( man muss ja nach jedem
Spielzug alle neuen HS suchen und nach Ziffern gruppieren) ergibt sich ein
langwieriges Unterfangen, das die Rechenzeit vielleicht nicht wert ist.

Hat sich da jemand schonmal Gedanken gemacht ? Ich denke mir die
profesionellen Raetselautoren muessen doch den Schwierigkeitsgrad ihrer
taeglich in Zeitungen veroeffentlichten HS Sudokus absolut unter Kontrolle
halten und muessen vielleicht die Rechenzeit doch in Kauf nehmen ?
Eine andere Situation sind vielleicht Wettbewerbe, wo man
extrem schwierige HS Sudokus anbieten will.

surbier

[an den Moderator: wenn das Thema besser in eine andere Rubrik passt, bitte veschieben]

[surbier]

z.B. dieses Sudoku, das mit versteckten Einsern (= hidden singles =
HS) geloest werden kann:

Code:

. . . . . . . . .
1 6 . 3 . . . . 2
. 2 5 . . . 3 6 4
3 5 . 6 . 9 4 . .
8 . . . 2 3 . . .
. . 6 4 . 8 . . 7
. . . 5 3 6 2 1 .
. . 1 . . . . . .
6 3 2 . . 4 . . .

000000000160300002025000364350609400800023000006408007000536210001000000632004000

4 7 3 9 6 2 5 8 1
1 6 8 3 4 5 7 9 2
9 2 5 8 7 1 3 6 4
3 5 7 6 1 9 4 2 8
8 4 9 7 2 3 1 5 6
2 1 6 4 5 8 9 3 7
7 8 4 5 3 6 2 1 9
5 9 1 2 8 7 6 4 3
6 3 2 1 9 4 8 7 5

473962581168345792925871364357619428849723156216458937784536219591287643632194875

+-----------------------+--------------------------+-----------------------+
| 479    4789   34789   | 12789  1456789   1257    | 15789  5789   1589    |
|  >1<    >6<   4789    |  >3<   45789     57      | 5789   5789    >2<    |
| 79      >2<    >5<    | 1789   1789      17      |  >3<    >6<    >4<    |
+-----------------------+--------------------------+-----------------------+
|  >3<    >5<   7       |  >6<   17         >9<    |  >4<   28     18      |
|  >8<   1479   479     | 17      >2<       >3<    | 1569   59     1569    |
| 29     19      >6<    |  >4<   15         >8<    | 159    2359    >7<    |
+-----------------------+--------------------------+-----------------------+
| 479    4789   4789    |  >5<    >3<       >6<    |  >2<    >1<   89      |
| 4579   4789    >1<    | 2789   789       27      | 56789  345789 35689   |
|  >6<    >3<    >2<    | 1789   1789       >4<    | 5789   5789   589     |
+-----------------------+--------------------------+-----------------------+

Zu Spielanfang hat man 9 verschiedene Zahlen die man mittels HS eintragen
kann. Mehrmals spaeter im Spielverlauf hat man keine Alternative; es gibt
nur eine moeglichen Zahl, die man als HS eintragen kann, und gegen Ende,
wenn es weniger als 10-7 Ziffern einzutragen gilt, sinkt die Anzahl der
moeglichen Ziffern gegen 1.

Code:

9, 8, 8, 7, 8, 7, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 3, 5, 5, 4, 3, 4, 4, 3, 5, 6, 7, 6, 5, 6, 5, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 1

Zaehlt man, anders, naemlich die Anzahl der logischen Moeglichkeiten,
findet man zu Spielanfang 17 verschiedene logische Hebel um die 9
verschiedenen Zahlen zu setzen, da z.B. die 2 in [61] sowohl HS in Spalte
1 als auch HS in Block 4 ist; man kann sie auf zwei verschiedene Weisen
eintragen/setzen. Nachdem man die 20ste Zahl eingetragen hat, egal in
welcher Reihenfolge, gibt es nur eine einzige logische Alternative,
nur eine Ziffer mit nur einem (von drei moeglichen) HS. Die letzte
einzutragende Zahl ist als 'full house' noch trivialer als ein HS,
erscheint jedoch in dieser Zaehlung als ein HS bezueglich der Zeile,
der Spalte und des Blocks, deshalb 3.

Code:

17,17,16,13,16,13,11, 9, 8, 7, 5, 5, 2, 2, 3, 2, 6, 3, 3, 3, 1, 2, 2, 2, 5, 7, 4, 2, 4, 7, 9, 6, 6, 6, 7, 4, 8, 8,11,10,10, 9, 6, 9, 9, 6, 9, 9, 6, 3

Fuer dieses Sudoku, das nur aus HS besteht, ist nach letzterer Zaehlweise
GAHS=1, es also unter der Klasse der HS Raetsel schon etwas schwieriger.

[StefanSch]

Ich weiß nicht, ob es Dich noch interessiert, aber wie wäre es mit folgenden Ansätzen zur Schwierigkeitsbewertung.

1) Nur das Minimum der HS zu betrachten, oder ggf. noch zu zählen, wie oft es vorkommt, blendet viele Informationen aus. Ein Rätsel bei dem ich lange Zeit nur wenige Möglichkeiten (z.B. 2 oder 3) habe, ist schwerer als eines, bei dem ich lange Zeit in Möglichkeiten schwimme und nur irgendwann einmal kurz intensiv suchen muss.
Da bietet sich folgender Ansatz an: Wenn noch n Kandidaten (damit meine ich eine Kombination aus Zahl + Zeile/Spalte oder Block) offen sind und es darunter k HS gibt, dann probiere ich einfach alle Kandidaten in einer zufälligen Reihenfolge durch, bis ich den ersten finde. Mit etwas Wahrscheinlichkeitstheorie kann man nachrechnen, dass ich im Mittel (n+1)/(k+1) Felder anschauen muss, bis ich fündig werde.
Diesen mittleren Aufwand addiert man einfach auf und weiß, wie lange man für das ganze Rätsel im Mittel suchen muss.

2) Das ist zwar ein netter Ansatz, aber in der Praxis sind nicht alle Kandidaten gleich erfolgversprechend. Wenn ich gerade eine 7 eingetragen habe, lohnt sich als nächstes eine Kombination aus einer weiteren 7 und einer Z/S/B, die durch die vorhergehende 7 auch beeinflusst wird. Werde ich da nicht fündig, dann lohnen sich Kombinationen, die man schon längere Zeit nicht untersucht hat, eher als solche die man gerade eben erst angeschaut hat. Naheliegend wäre hier eine zyklische Suche, die reihum alle Kandidaten nacheinander überprüft. Eventuell erweitert um "Zahlen-Schleifen", die Kandidaten mit der gleichen Zahl so lange bevorzugt untersucht, bis keine HS mehr gefunden werden.
Hier kann der Rechner dann selber zählen, wie of er Kandidaten testen musste.

Viele Grüße,
Stefan

[surbier]

Hallo StefanSch

1)

Stimmt,
der mittlere Mehraufwand als Summe aller (n+1)/(k+1) ist besser. Ist wohl
mehr das Integral ueber den ganzen Spielverlauf, als mein vorgeschlagenes
Maximum. Der Vorteil ist auch, dass man die Mehraufwendungen am Spielende
nicht ausblenden muss. Sudokus mit weniger Ausgangsziffern wuerden
im Mittel schwieriger bewertet werden, da mehr Summanden beitragen. Ich wuerde
trotzdem eher n/k anstatt (n+1)/(k+1) aufsummieren (Anzahl der Tests durch
Anzahl der gefunden HS). Ist bei einem Spielstand kein HS vorhanden,
ist die Schwierigkeit sowieso nicht nicht ueber HS definiert.

Code:

n=40 k= 0:  #  nicht definiert, Sudoku ist kein HS Sudoku, vielleicht eins mit X-wing, nice loops, ...
n=40 k=20:  2 (leichter Schritt)
n=40 k= 1: 40 (schwieriger Schritt)
n=6  k= 6:  1 (leichter Schritt bei der zweitletzten einzutragenden Ziffer)
n=6  k= 2:  3 (etwas schwierigerer Schritt bei der zweitletzten einzutragenden Ziffer)

2)
Stimme ich dir ebenfalls zu. Ich hatte urspruenglich einen rekursiven
Loesungsweg programmiert, der alle moegliche Reihenfolgen der HS
ausprobiert, mit einem Vorzug von HS Reihenfolgen mit Kandidaten der
selben Art, um z.B. den Loesungsweg auszugeben mit der geringensten
Anzahl von Kandidatenwechseln. Ein HS-Sudoku, in dem nur noch die
6er fehlen, haette dann null Kandidatenwechsel, Ein HS-Sudoku, in dem
ein 3 und zwei 5er fehlen, koennte theoretisch mit einem oder zwei
Kandidatenwechel geloest werden (3, 5, 5 gegen 5, 3, 5). Wenn die
zuletzt geloeste Ziffer eine 5 war, wurde ein HS in der 5 als naechster
Loesungsschritt forciert. Wegen des dennoch grossen Paramerraums, war
die Rechenzeit extrem gross, sodass ich das Thema irgendwann ad acta
gelegt habe.

Auch die Idee nur die drei Einheiten Z/S/B zu testen in denen die letzte
Ziffer als HS gesetzt wurde bedeutet doch noch etwas Programmieraufwand.

[Pyrrhon]

Im sel. Forum von sudoku.com haben sie eine ganze Zeit lang eine Schwierigkeitsschätzung verwendet, die dem Vorschlag sehr ähnlich ist. Auf Hidden Singles angewendet würde es heißen, dass man in jedem Schritt überlegt, welche Hidden Single alle möglich sind und dann alle möglichen Hidden Singles auf einmal ausführt. Danach folgt der nächste Schritt (die nächste Überlegung aller möglichen Hidden Singles). Das Maß ist dann die die Anzahl der Schritte bis zur Lösung.

Ich halte dieses Maß allerdings nicht für besonders gut, da es zumindest mir so geht, dass ich Hidden Singles in 3x3-Gebieten wesentlich leichter sehe als solche in Zeilen oder Spalten.

[surbier]

Hi, StefanSch

A)
Ich habe den Aufwand pro Spielzug und den mittleren Aufwand fuer
alle Spielzuege wie oben beschrieben codiert und ueber das Raetsel
laufen lassen. Dabei bekomme ich einen mittleren Aufwand von 17.8
Kandidaten/(moegliche HS Spielzuege).

In der ersten Tabelle sind die Werte fur den Spielverlauf angegeben. Beim 20sten
Spielzug gibt es nur einen HS, somit einen hohen Aufwandswert fuer den
aktuellen HS und der Aufwandsmittelwert steigt ebenfalls ein wenig.

Ich habe das nun fuer mehrere HS-Sudokus mit unterschiedlicher Anzahl
der Ausgangsziffern ausprobiert und bekomme Werte zwischen 0.33 und
~30. Sieht auch vielversprechend aus.


B)
Dann habe ich die Reihenfolge der HS (der Spielzuege) variiert; einfach
die Kandidaten Schleife 'for (k=1; k<=9; k++)' in absteigender Reihenfolge
als 'for (k=9; k>=1; k--)' laufen lassen. Das obige Beispiel ist bei
diesem zweiten Spielverlauf kein GAHS=1 Sudoku mehr. Das heisst der
aktuelle Aufwand und der mittlere Aufwand fuer das ganze Raetsel ist
abhhaengig vom Loesungsweg (von der Reihenfolge der HS), denn jedes HS
reduziert eine unterschiedliche Anzahl von Kandidaten.

Man sieht, dass Spielzug #13 und #14 in beiden Spielverlaeufen (siehe
zweite Tabelle) identisch sind, und dass alle Spielzuege #1 bis #12 in
beiden Spielverlaufen bis auf die Reihenfolge ebenfalls gleich sind. Mit
Spielzug #15 divergieren die Spielverlaefe:

Code:

Spielstand nach 14 Spielzuegen
+-----------------------+-----------------------+-----------------------+
| 479    4789    _3_    | 2789    _6_   257     | 5789   5789    _1_    |  
|  >1<    >6<   789     |  >3<    _4_   57      | 5789   5789    >2<    |  
| 79      >2<    >5<    | 1789   1789   17      |  >3<    >6<    >4<    |  
+-----------------------+-----------------------+-----------------------+
|  >3<    >5<   7       |  >6<   17      >9<    |  >4<    _2_    _8_    |  
|  >8<   1479   479     | 17      >2<    >3<    | 159    59      _6_    |  
|  _2_   19      >6<    |  >4<    _5_    >8<    | 19      _3_    >7<    |  
+-----------------------+-----------------------+-----------------------+
| 479    4789   4789    |  >5<    >3<    >6<    |  >2<    >1<   9       |  
|  _5_   789     >1<    | 2789   789    27      |  _6_    _4_    _3_    |  
|  >6<    >3<    >2<    | 1789   1789    >4<    | 5789   5789   59      |  
+-----------------------+-----------------------+-----------------------+
Zur Auswahl:
a) col 9 5[99]
b) col 6 1[36]
c) row 4 1[45]

Beim ersten Spielverlauf, loest 5[99] das Nadeloer erst in Spielzug #20
und ist dort das einzige HS. Im zweiten Spielverlauf, wird 5[99] schon
im Spielzug #15 gespielt und oeffnet frueher neue HS, die im ersten
Spielverlauf erst ab #20 freigegeben werden.
Wenn man 5[99] als ersten Spielschritt

- Es ist wohl nicht moeglich, eine eindeutige Schwierigkeitsbewertung
nur an Hand der HS, der GAHS oder des mittleren Aufwands zu bestimmen.

- Die ersten 17 Spielzuege sind unabhaenging voneinader, und das scheint
auch wohl der Grund gewesen zu sein, warum man im Beitrag im Players
Forum jede Gruppe von unabhaengigen HS und naked singels als einen
Schritt gezaehlt hat.

- Ich kenne mich in der Theorie der Entscheidungsbaeume und der
Graphentheorie nicht aus; das Problem ist dort sicherlich namentlich
bekannt und vielleicht gibt es auch Verfaheen um die Mannigfaltigkeit
und Tiefe zu messen.

Haette mir eigentlich schon frueher einfallen koennen.

Gruss surbier



Tabelle: Spielverlauf mit aufsteigender Auswahl der Kandidaten.

invest=(176/ 17) : 176 Kandidaten (pencil marks) bei 17 moeglichen hidden singles
avg=10.353 : Mittelwert bei diesem Spielstand
HS col 1 2[61] : hidden single in Spalte 1 eliminiert die 2 in Reihe 6 Spalte 1
FH = full house (ist auch nackter Einser da letzter Kandidat in einer Einheit/house).

Code:

1 invest=(176/ 17)=10.353 avg=10.353 HS col 1 2[61]
2 invest=(173/ 17)=10.176 avg=10.265 HS col 8 2[48]
3 invest=(171/ 16)=10.688 avg=10.406 HS col 3 3[13]
4 invest=(166/ 13)=12.769 avg=10.997 HS col 9 3[89]
5 invest=(160/ 16)=10.000 avg=10.797 HS col 8 3[68]
6 invest=(157/ 13)=12.077 avg=11.011 HS col 8 4[88]
7 invest=(150/ 11)=13.636 avg=11.386 HS col 1 5[81]
8 invest=(146/  9)=16.222 avg=11.990 HS blk 5 5[65]
9 invest=(141/  8)=17.625 avg=12.616 HS col 5 6[15]
10 invest=(135/  7)=19.286 avg=13.283 HS col 5 4[25]
11 invest=(130/  5)=26.000 avg=14.439 HS col 9 6[59]
12 invest=(125/  5)=25.000 avg=15.319 HS col 7 6[87]

13 invest=(121/  2)=60.500 avg=18.795 HS row 4 8[49]
14 invest=(116/  2)=58.000 avg=21.595 HS col 9 1[19]

15 invest=(110/  3)=36.667 avg=22.600 HS col 6 1[36]
16 invest=(106/  2)=53.000 avg=24.500 HS row 4 1[45]
17 invest=(102/  6)=17.000 avg=24.059 FH row 4 7[43]
18 invest=( 97/  6)=16.167 avg=23.620 FH blk 5 7[54]
19 invest=( 92/  4)=23.000 avg=23.588 HS col 4 1[94]
20 invest=( 89/  1)=89.000 avg=26.858 HS col 9 5[99]
21 invest=( 85/  1)=85.000 avg=29.627 FH col 9 9[79]
22 invest=( 79/  2)=39.500 avg=30.076 HS row 9 9[95]
23 invest=( 73/  2)=36.500 avg=30.355 HS row 8 9[82]
24 invest=( 67/  2)=33.500 avg=30.486 HS row 6 9[67]
25 invest=( 61/  5)=12.200 avg=29.755 FH row 6 1[62]
26 invest=( 59/  5)=11.800 avg=29.064 HS col 7 1[57]
27 invest=( 57/  4)=14.250 avg=28.515 FH blk 6 5[58]
28 invest=( 54/  2)=27.000 avg=28.461 HS row 5 9[53]
29 invest=( 51/  4)=12.750 avg=27.920 FH row 5 4[52]
30 invest=( 48/  4)=12.000 avg=27.389 HS col 3 4[73]
31 invest=( 45/  7)= 6.429 avg=26.713 FH col 3 8[23]
32 invest=( 41/  7)= 5.857 avg=26.061 HS col 1 4[11]
33 invest=( 38/  6)= 6.333 avg=25.463 HS col 2 8[72]
34 invest=( 36/  6)= 6.000 avg=24.891 FH row 7 7[71]
35 invest=( 34/  6)= 5.667 avg=24.341 FH col 1 9[31]
36 invest=( 32/  6)= 5.333 avg=23.813 FH col 2 7[12]
37 invest=( 28/  4)= 7.000 avg=23.359 HS row 3 7[35]
38 invest=( 24/  8)= 3.000 avg=22.823 FH row 3 8[34]
39 invest=( 21/  9)= 2.333 avg=22.298 FH col 5 8[85]
40 invest=( 20/  6)= 3.333 avg=21.824 HS col 6 7[86]
41 invest=( 18/  6)= 3.000 avg=21.365 FH row 8 2[84]
42 invest=( 16/  6)= 2.667 avg=20.919 FH col 4 9[14]
43 invest=( 14/  6)= 2.333 avg=20.487 HS col 6 2[16]
44 invest=( 12/  6)= 2.000 avg=20.067 FH col 6 5[26]
45 invest=( 10/  6)= 1.667 avg=19.658 HS col 7 5[17]
46 invest=(  8/  6)= 1.333 avg=19.260 FH row 1 8[18]
47 invest=(  6/  6)= 1.000 avg=18.871 HS col 7 8[97]
48 invest=(  4/  6)= 0.667 avg=18.492 FH row 9 7[98]
49 invest=(  2/  6)= 0.333 avg=18.121 FH col 7 7[27]
50 invest=(  1/  3)= 0.333 avg=17.766 FH row 2 9[28]

Tabelle 2: Spielverlauf mit absteigender Kandidatenfolge

Code:

1 invest=(176/ 17)=10.353 avg=10.353 HS col 5 6[15]
2 invest=(169/ 16)=10.562 avg=10.458 HS col 1 5[81]
3 invest=(162/ 14)=11.571 avg=10.829 HS blk 5 5[65]
4 invest=(157/ 13)=12.077 avg=11.141 HS col 5 4[25]
5 invest=(152/ 11)=13.818 avg=11.676 HS col 8 4[88]
6 invest=(146/ 12)=12.167 avg=11.758 HS col 3 3[13]
7 invest=(141/  9)=15.667 avg=12.316 HS col 8 3[68]
8 invest=(138/  9)=15.333 avg=12.694 HS col 9 3[89]
9 invest=(134/  9)=14.889 avg=12.938 HS col 9 6[59]
10 invest=(129/  9)=14.333 avg=13.077 HS col 7 6[87]
11 invest=(125/  6)=20.833 avg=13.782 HS col 1 2[61]
12 invest=(123/  3)=41.000 avg=16.050 HS col 8 2[48]

13 invest=(121/  2)=60.500 avg=19.470 HS row 4 8[49]
14 invest=(116/  2)=58.000 avg=22.222 HS col 9 1[19]

15 invest=(110/  3)=36.667 avg=23.185 HS col 9 5[99]
16 invest=(106/  3)=35.333 avg=23.944 FH col 9 9[79]
17 invest=(100/  3)=33.333 avg=24.496 HS blk 7 9[82]
18 invest=( 92/  4)=23.000 avg=24.413 HS row 6 9[67]
19 invest=( 86/  7)=12.286 avg=23.775 FH row 6 1[62]
20 invest=( 84/  6)=14.000 avg=23.286 HS row 5 9[53]
21 invest=( 80/  8)=10.000 avg=22.653 HS row 2 9[28]
22 invest=( 75/  7)=10.714 avg=22.111 HS col 3 4[73]
23 invest=( 70/ 10)= 7.000 avg=21.454 HS col 3 8[23]
24 invest=( 66/ 11)= 6.000 avg=20.810 FH col 3 7[43]
25 invest=( 63/ 12)= 5.250 avg=20.188 FH row 4 1[45]
26 invest=( 59/ 14)= 4.214 avg=19.573 FH blk 4 4[52]
27 invest=( 57/ 14)= 4.071 avg=18.999 FH blk 5 7[54]
28 invest=( 52/ 12)= 4.333 avg=18.475 HS col 2 8[72]
29 invest=( 50/ 12)= 4.167 avg=17.982 FH row 7 7[71]
30 invest=( 47/ 11)= 4.273 avg=17.525 FH col 2 7[12]
31 invest=( 43/ 11)= 3.909 avg=17.086 HS col 8 7[98]
32 invest=( 39/ 13)= 3.000 avg=16.645 FH blk 9 8[97]
33 invest=( 35/ 13)= 2.692 avg=16.223 HS col 8 8[18]
34 invest=( 32/ 12)= 2.667 avg=15.824 FH col 8 5[58]
35 invest=( 30/ 11)= 2.727 avg=15.450 FH row 5 1[57]
36 invest=( 29/  8)= 3.625 avg=15.121 HS col 7 7[27]
37 invest=( 26/  9)= 2.889 avg=14.791 FH row 2 5[26]
38 invest=( 24/  9)= 2.667 avg=14.472 FH col 7 5[17]
39 invest=( 23/  6)= 3.833 avg=14.199 HS col 1 4[11]
40 invest=( 21/  6)= 3.500 avg=13.931 FH col 1 9[31]
41 invest=( 18/  6)= 3.000 avg=13.665 HS col 5 9[95]
42 invest=( 16/  6)= 2.667 avg=13.403 FH row 9 1[94]
43 invest=( 14/  6)= 2.333 avg=13.145 HS col 4 9[14]
44 invest=( 12/  6)= 2.000 avg=12.892 FH row 1 2[16]
45 invest=( 10/  6)= 1.667 avg=12.643 HS col 4 2[84]
46 invest=(  8/  6)= 1.333 avg=12.397 FH col 4 8[34]
47 invest=(  6/  6)= 1.000 avg=12.154 HS col 5 8[85]
48 invest=(  4/  6)= 0.667 avg=11.915 FH row 8 7[86]
49 invest=(  2/  6)= 0.333 avg=11.679 FH col 5 7[35]
50 invest=(  1/  3)= 0.333 avg=11.452 FH row 3 1[36]