28.01.2009, 23:12
Hallo,
auch ich habe ich schon daran versucht, die besondere Struktur hier auszunutzen. Was vielleicht auch klappen könnte, wenn die Sudokus von Hand konstruiert wurden. Wenn sie aber mit Freund Computer gemacht wurden (und so haber ich Naphtalin jetzt verstanden), hat man so wahrscheinlich keine Chance.
Lateinische Quadrate zu konstruieren, ist in der Tat nicht schwer (d.h., wenn man weiß wies geht
): Man setze in das Feld (x,y) die Zahl x+y (wenn die größer als die Größe des Quadrats wird, fängt man entsprechend von vorne an). Alle gleichen Zahlen liegen dann auf einer (versetzten) Diagonale, die aus dem Quadrat rausläuft und auf der anderen Seite wieder rein.
Um ein dazu orthogonales Quadrat zu bekommen, setzt man nach (x,y) die Zahl x+2y (entsprechend wie oben korrigiert). Gleiche Zahlen liegen dann auf Rösselsprung-Linien. Das klappt allerdings nur, wenn das Quadrat ungerade ist.
Sudokus bekommt man so allerdings nicht. Für Experten: Wenn man die Geraden nicht aus Z/9 wählt wie oben, sondern aus F9 (der Körper mit 9 Elementen), entstehen daraus Sudokus. Und zwar, wenn man will, 6 paarweise orthogonale.
Das ist auch relativ leicht einzusehen. Wählen wir die Quadrate so, dass links unten eine 1 steht (notfalls werden die Ziffern umbenannt!). Dann habi ich noch n-1 Stellen, an denen die 1 in der zweiten Zeile stehen kann. Aber die müssen alle verschieden sein, sonst ist die Orthogonalität dahin. Also gibt es höchstens n-1 oQs.
Gleiches Argument wie oben, aber nur 6 mögliche Stellen, wegen der Gebietsregel. Also höchstens 6. Und die sind auch möglich, s.o. (es sei denn ich hätte mal wieder einen kapitalen Fehler gemacht: soll ja schon mal vorkommen!
)
Was mir nicht klar ist:
Hat jedes lateinische Quadrat ein orthogonales?
Gibt es strukturelle Einschränkungen, oder wirkt sich die Struktur irgendwie auf das orthogonale "Double" aus?
Wie passt die Gebietsregel da rein?
Wenn man n-2 poQs hat, bekommt man dann automatisch auch das letzte?
Kann man irgendwelche Kombinationen bilden?
Ist das x-te orthogonale Q durch n-x Zeilen festgelegt? Und wenn ja: kann man die frei wählen?
Und noch eine Frage an Naphtalin: kannst du dein orthogonales Sudoku selber lösen?
Gruß Jürgen
auch ich habe ich schon daran versucht, die besondere Struktur hier auszunutzen. Was vielleicht auch klappen könnte, wenn die Sudokus von Hand konstruiert wurden. Wenn sie aber mit Freund Computer gemacht wurden (und so haber ich Naphtalin jetzt verstanden), hat man so wahrscheinlich keine Chance.
Lateinische Quadrate zu konstruieren, ist in der Tat nicht schwer (d.h., wenn man weiß wies geht
): Man setze in das Feld (x,y) die Zahl x+y (wenn die größer als die Größe des Quadrats wird, fängt man entsprechend von vorne an). Alle gleichen Zahlen liegen dann auf einer (versetzten) Diagonale, die aus dem Quadrat rausläuft und auf der anderen Seite wieder rein.Um ein dazu orthogonales Quadrat zu bekommen, setzt man nach (x,y) die Zahl x+2y (entsprechend wie oben korrigiert). Gleiche Zahlen liegen dann auf Rösselsprung-Linien. Das klappt allerdings nur, wenn das Quadrat ungerade ist.
Sudokus bekommt man so allerdings nicht. Für Experten: Wenn man die Geraden nicht aus Z/9 wählt wie oben, sondern aus F9 (der Körper mit 9 Elementen), entstehen daraus Sudokus. Und zwar, wenn man will, 6 paarweise orthogonale.
(27.01.2009, 14:12)Statistica schrieb: Es ist bewiesen worden, dass es höchstens n - 1 paarweise orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung n gibt.
Das ist auch relativ leicht einzusehen. Wählen wir die Quadrate so, dass links unten eine 1 steht (notfalls werden die Ziffern umbenannt!). Dann habi ich noch n-1 Stellen, an denen die 1 in der zweiten Zeile stehen kann. Aber die müssen alle verschieden sein, sonst ist die Orthogonalität dahin. Also gibt es höchstens n-1 oQs.
(27.01.2009, 14:12)Statistica schrieb: Also gibt es höchstens acht lateinische Quadrate der Ordnung 9, von denen jeweils zwei orthogonal zueinander sind. Ob man acht SUDOKUS mit dieser Eigenschaft findet, bezweifele ich...
Gleiches Argument wie oben, aber nur 6 mögliche Stellen, wegen der Gebietsregel. Also höchstens 6. Und die sind auch möglich, s.o. (es sei denn ich hätte mal wieder einen kapitalen Fehler gemacht: soll ja schon mal vorkommen!
)Was mir nicht klar ist:
Hat jedes lateinische Quadrat ein orthogonales?
Gibt es strukturelle Einschränkungen, oder wirkt sich die Struktur irgendwie auf das orthogonale "Double" aus?
Wie passt die Gebietsregel da rein?
Wenn man n-2 poQs hat, bekommt man dann automatisch auch das letzte?
Kann man irgendwelche Kombinationen bilden?
Ist das x-te orthogonale Q durch n-x Zeilen festgelegt? Und wenn ja: kann man die frei wählen?
Und noch eine Frage an Naphtalin: kannst du dein orthogonales Sudoku selber lösen?
Gruß Jürgen
