Hallo zusammen,
ich hab letztens ein bisschen über die Geometrie des Sudoku-Gitters nachgegrübelt und bin dabei auf einen interessanten Fund gestoßen. Da ich leider nicht allzu erfahren bin, kann es natürlich gut sein, dass das schon ein alter Hut ist. Daher wollte ich euch auf Eure Erfahrung zurück greifen und Euch fragen, ob euch das vielleicht bekannt ist.
Meine Überlegung begann bei der folgenden Geometrie, bei der man leicht zeigen kann, dass die Summe der Ziffern in den dunkelroten Blöcken der Summe der Ziffern im blauen Gebiet entspricht:
![[Bild: bild.php?data=be82f74e-6191-3030303343332d31]](https://logic-masters.de/Dateien/bild.php?data=be82f74e-6191-3030303343332d31)
Möchte man die Summe der Ziffern im gesamten roten Gebiet bestimmen, gibt es im Wesentlichen zwei Möglichkeiten:
1. Es werden die Zeilen 1, 2, 8 und 9 und die Spalten 1, 2, 8 und 9 aufsummiert und davon die dunkelroten Käfige A, B, C und D abgezogen, d.h.
8*45-A-B-C-D.
2. Es werden alle 3x3-Blöcke bis auf den mittleren aufsummiert und das blaue Gebiet davon abgezogen, d.h.
8*45-blaues Gebiet.
Damit erhalten wir: Summe der Ziffern im blauen Gebiet=A+B+C+D.
Was mir allerdings keine Ruhe ließ, war die Beobachtung, dass in jedem Beispiel, das ich mir ansah, nicht nur die Summen gleich waren, sondern auch alle Ziffern und deren Anzahl in den dunkelroten Blöcken und dem blauen Gebiet übereinstimmten. Nach einigem Grübeln fand ich einen Beweis dafür (der hoffentlich stimmt...):
![[Bild: bild.php?data=b2a6bb64-6192-3030303343332d32]](https://logic-masters.de/Dateien/bild.php?data=b2a6bb64-6192-3030303343332d32)
Um die Behauptung zu zeigen, betrachten wir die Zeilen 3 und 7, die Spalten 3 und 7, sowie die 3x3-Blöcke in den vier Ecken. Um den Sachverhalt einfacher zu beschreiben, werden Spalten und Zeilen einfach als Linien bezeichnet. Sei nun "n" eine Ziffer von 1 bis 9. Dann muss "n" jeweils genau einmal in den 4 Linien und den 4 Blöcken auftreten. Wenn "n" also in einer
- grünen Zelle auftaucht, werden dadurch eine Linie und eine Box abgedeckt,
- roten Zelle auftaucht, wird dadurch eine Box abgedeckt,
- blauen Zelle auftaucht, wird dadurch eine Linie abgedeckt,
- orangen Zelle auftaucht, werden dadurch zwei Linie und eine Box abgedeckt.
Also haben nur die grünen Zellen eine Balance zwischen der Anzahl an Linien und Boxen, die sie abdecken. Damit muss für jedes Mal, das "n" in einer roten Zelle auftaucht, "n" auch in einer blauen oder orangen Zelle auftauchen und umgekehrt. Nachdem das für jede Ziffer zwischen 1 und 9 gilt, muss das rote Gebiet die gleichen Ziffern in der gleichen Anzahl enthalten wie das blaue und das orange Gebiet zusammen.
Kennt jemand von euch ein Ergebnis von dieser Art? Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir Feedback dazu geben würdet - natürlich auch zu etwaigen Fehlern oder interessanten Folgerungen.
ich hab letztens ein bisschen über die Geometrie des Sudoku-Gitters nachgegrübelt und bin dabei auf einen interessanten Fund gestoßen. Da ich leider nicht allzu erfahren bin, kann es natürlich gut sein, dass das schon ein alter Hut ist. Daher wollte ich euch auf Eure Erfahrung zurück greifen und Euch fragen, ob euch das vielleicht bekannt ist.
Meine Überlegung begann bei der folgenden Geometrie, bei der man leicht zeigen kann, dass die Summe der Ziffern in den dunkelroten Blöcken der Summe der Ziffern im blauen Gebiet entspricht:
Möchte man die Summe der Ziffern im gesamten roten Gebiet bestimmen, gibt es im Wesentlichen zwei Möglichkeiten:
1. Es werden die Zeilen 1, 2, 8 und 9 und die Spalten 1, 2, 8 und 9 aufsummiert und davon die dunkelroten Käfige A, B, C und D abgezogen, d.h.
8*45-A-B-C-D.
2. Es werden alle 3x3-Blöcke bis auf den mittleren aufsummiert und das blaue Gebiet davon abgezogen, d.h.
8*45-blaues Gebiet.
Damit erhalten wir: Summe der Ziffern im blauen Gebiet=A+B+C+D.
Was mir allerdings keine Ruhe ließ, war die Beobachtung, dass in jedem Beispiel, das ich mir ansah, nicht nur die Summen gleich waren, sondern auch alle Ziffern und deren Anzahl in den dunkelroten Blöcken und dem blauen Gebiet übereinstimmten. Nach einigem Grübeln fand ich einen Beweis dafür (der hoffentlich stimmt...):
Um die Behauptung zu zeigen, betrachten wir die Zeilen 3 und 7, die Spalten 3 und 7, sowie die 3x3-Blöcke in den vier Ecken. Um den Sachverhalt einfacher zu beschreiben, werden Spalten und Zeilen einfach als Linien bezeichnet. Sei nun "n" eine Ziffer von 1 bis 9. Dann muss "n" jeweils genau einmal in den 4 Linien und den 4 Blöcken auftreten. Wenn "n" also in einer
- grünen Zelle auftaucht, werden dadurch eine Linie und eine Box abgedeckt,
- roten Zelle auftaucht, wird dadurch eine Box abgedeckt,
- blauen Zelle auftaucht, wird dadurch eine Linie abgedeckt,
- orangen Zelle auftaucht, werden dadurch zwei Linie und eine Box abgedeckt.
Also haben nur die grünen Zellen eine Balance zwischen der Anzahl an Linien und Boxen, die sie abdecken. Damit muss für jedes Mal, das "n" in einer roten Zelle auftaucht, "n" auch in einer blauen oder orangen Zelle auftauchen und umgekehrt. Nachdem das für jede Ziffer zwischen 1 und 9 gilt, muss das rote Gebiet die gleichen Ziffern in der gleichen Anzahl enthalten wie das blaue und das orange Gebiet zusammen.
Kennt jemand von euch ein Ergebnis von dieser Art? Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir Feedback dazu geben würdet - natürlich auch zu etwaigen Fehlern oder interessanten Folgerungen.