Lösungswege

[berni]

Gleichgewicht

Dieses Rätsel ist wohl mit Abstand das mathematischste diese Quali. - Wer diese Rätselart verstehen will, der lasse sich von den vielen nachfolgenden Formeln nicht abschrecken; ich habe versucht, den Lösungsweg sehr ausführlich darzustellen, was dazu führt dass die Anzahl der Formeln steigt.

In der Abbildung habe ich die Gewichte mit den Buchstaben a bis h versehen.

Die Waage besteht aus drei Querbalken, die sich alle drei im Gleichgewicht befinden müssen. Hierfür kann man drei Gleichungen angeben:

(1) Ganz unten: 2f = g+5h
(2) Rechts: 3b+2c+d = 2e
(3) Oben: 4a+2(f+g+h) = 3(b+c+d+e)

Diese drei Gleichungen helfen sicherlich bei der Lösungssuche weiter, aber wenn man bemerkt, dass es da noch eine versteckte vierte Gleichung gibt, kann man das Rätsel weitgehend ohne Probieren lösen. Die verbleibende Gleichung lautet schlicht und ergreifend:

(4) a+b+c+d+e+f+g+h = 36

(Die Ziffern von 1 bis 8 kommen ja genau einmal vor und 1+2+...+8 = 36)

Mit Hilfe von Gleichung (4) kann man Gleichung (3) nun umschreiben, indem man b+c+d+e ersetzt durch 36-(a+f+g+h):

(3') 4a+2(f+g+h) = 3x(36-(a+f+g+h))

Umformen ergibt:

(3'') 7a+5(f+g+h) = 108

Wenn wir mal vorübergehend z an Stelle von f+g+h schreiben erhalten wir:

(3''') 7a+5z = 108

Und das können wir wiederum umformen zu:

(3'''') z = (108-7a)/5

Da z eine ganze Zahl sein soll, stellt man schnell (alle 8 möglichen Ziffern in (3'''') eintragen) fest, dass das nur für a=4 geht.

Ufff!

Setzt man das nun in (3'') ein erhält man

(5) f+g+h = 16

Zusammen mit (1) (nach g umformen und dann einsetzen) ergibt sich:

(6) 3f-4h = 16

Da sowohl 16 als auch 4h durch 4 teilbar sind, muss auch 3f durch 4 teilbar sein. Für f bleibt deswegen nur noch die 8 übrig, denn die 4 haben wir ja schon für a verwendet. Aus (6) folgt: h = 2 und aus (5) folgt: g = 6.

Es fehlt noch der Querbalken rechts. Das kann man intuitiv lösen: Das Gewicht rechts schreit doch danach, die 7 zu sein, oder durch Ausprobieren (es gibt noch 24 Möglichkeiten), oder durch Verwenden der Gleichung (2) und und dem jetzt bekannten Wissen, dass b+c+d+e=1+3+5+7=16 gilt. Letzteres führt zu 5b+3d muss durch 4 teilbar sein (und das hoffentlich schnell zur Lösung).

Örgs.

So, wie sagt man so schön: Aller guten Dinge sind 3, und damit soll es für heute auch mal genug sein. Die anderen drei Lösungswege folgen in den nächsten Tagen.