20.11.2020, 17:54
Ja, wenn man jede komplette Auslosung (es gibt 27 Stück) mit gleicher Wahrscheinlichkeit haben will, macht man am besten 27 Lose und zieht eines, dann kommt man auf die genannten 15/27 oder 55,6%.
Jetzt könnte der Ausloser aber wie folgt vorgehen: Man mache 8 Lose, für jedes Team eines.
Schritt 1: Ziehe zufällig zwei Lose. Wenn es sich um eine legale Paarung handelt, nimm diese, andernfalls lege die Lose zurück und wiederhole Schritt 1, solange bis du eine legale Paarung erhältst.
Schritt 2: Dasselbe nochmal. Wenn die vier verbleibenden Teams nicht mehr kompatibel sind, lege die Lose zurück und wiederhole Schritt 2, solange bis du eine legale Paarung mit kompatiblen Restteams erhältst.
Schritt 3: Dasselbe nochmal.
Mit diesem Verfahren ergibt sich aber ein anderes Ergebnis, nämlich nur ca. 54,3% (modulo Rechenfehler).
Woran liegt das?
Nun, auch mit diesem Verfahren erhält man sämtliche möglichen Auslosungen, jede außerdem 24mal (weil man die vier Paarungen auch in 4! möglichen Reihenfolgen erhält). Aber diese 27*24 Möglichkeiten werden nicht alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen, beispielsweise hat
CF, AB, DH, EG
die Wahrscheinlichkeit 1/21*1/11*1/6 (für Schritt 1 gibt es 21 Möglichkeiten, für Schritt 2 noch 11 und für Schritt 3 noch 6), hingegen hat
DF, AB, CH, EG
die Wahrscheinlichkeit 1/21*1/9*1/6, weil es im zweiten Schritt nur 10 legale Möglichkeiten gibt und eine davon (BE) zu inkompatiblen Restteams führt.
Jetzt könnte der Ausloser aber wie folgt vorgehen: Man mache 8 Lose, für jedes Team eines.
Schritt 1: Ziehe zufällig zwei Lose. Wenn es sich um eine legale Paarung handelt, nimm diese, andernfalls lege die Lose zurück und wiederhole Schritt 1, solange bis du eine legale Paarung erhältst.
Schritt 2: Dasselbe nochmal. Wenn die vier verbleibenden Teams nicht mehr kompatibel sind, lege die Lose zurück und wiederhole Schritt 2, solange bis du eine legale Paarung mit kompatiblen Restteams erhältst.
Schritt 3: Dasselbe nochmal.
Mit diesem Verfahren ergibt sich aber ein anderes Ergebnis, nämlich nur ca. 54,3% (modulo Rechenfehler).
Woran liegt das?
Nun, auch mit diesem Verfahren erhält man sämtliche möglichen Auslosungen, jede außerdem 24mal (weil man die vier Paarungen auch in 4! möglichen Reihenfolgen erhält). Aber diese 27*24 Möglichkeiten werden nicht alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen, beispielsweise hat
CF, AB, DH, EG
die Wahrscheinlichkeit 1/21*1/11*1/6 (für Schritt 1 gibt es 21 Möglichkeiten, für Schritt 2 noch 11 und für Schritt 3 noch 6), hingegen hat
DF, AB, CH, EG
die Wahrscheinlichkeit 1/21*1/9*1/6, weil es im zweiten Schritt nur 10 legale Möglichkeiten gibt und eine davon (BE) zu inkompatiblen Restteams führt.